בגרות מתמטיקה 581, קיץ 2025 מועד א'

ביום ראשון יוסי יצא עם האוטובוס ורכב במהירות קבועה על אופניים חשמליים, והגיע לבית הספר באותו הזמן כמו האוטובוס. הביעו את מהירות הרכיבה של יוסי באמצעות $v$.

ביום שני יוסי יצא בריצה 19 דקות לפני האוטובוס. מהירות הרכיבה מיום ראשון גדולה פי 2 ממהירות הריצה. השניים הגיעו לתחנת ביניים III באותו זמן. מצאו את $v$.

קבעו באיזה מהמקרים (1)-(3) יגיע יוסי לבית הספר בזמן הקצר ביותר, ונמקו: (1) כל הדרך באוטובוס; (2) אוטובוס עד תחנת ביניים II ומשם אופניים במהירות של יום ראשון; (3) אופניים כל הדרך במהירות הגדולה ב-5 קמ"ש ממהירות יום ראשון.

מצאו את הערך של $a_3$ (מצאו את שתי האפשרויות).

נתון כי הסדרה $A$ אינה עולה ואינה יורדת. בונים סדרה חדשה $B$ שאיבריה $b_n=\frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}$. הוכיחו כי $B$ הנדסית ומצאו את המנה שלה.

איברי סדרה $C$ הם $\frac{k}{a_1{a}_2},\frac{k}{a_3{a}_4},\frac{k}{a_5{a}_6},\dots$ ($k\ne 0$ פרמטר). (1) מצאו את מנת $C$. (2) מצאו עבור אילו ערכים של $k$ הסדרה $C$ עולה.

נסמן ב-$S_B$ את סכום הסדרה $B$ וב-$S_C$ את סכום הסדרה $C$. נתון $S_C=4\cdot S_B$. מצאו את הערך של $k$.

בוחרים 3 מצביעים. נתון כי ההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע א' גדולה פי 2 מההסתברות ששלושתם הצביעו ב'. מצאו את $P$.

בוחרים 4 מצביעים. ידוע כי ארבעתם הצביעו לאותה מפלגה. מהי ההסתברות שהם הצביעו א'?

חלק מהמצביעים הם מבוגרים והשאר צעירים. נתון כי 40% מהמצביעים המבוגרים הצביעו למפלגה ב', ו-15% מהמצביעים הצעירים הצביעו למפלגה א'. מהי ההסתברות לבחור באקראי מצביע צעיר מבין כל המצביעים?

לאחר הבחירות נערך סקר טלפוני. אחד הסוקרים, דני, מתקשר אקראית לצעירים בלבד ומפסיק מיד לאחר שריאיין צעיר שהצביע א' ועוד צעיר שהצביע ב'. מהי ההסתברות שדני יתקשר לחמישה צעירים בדיוק?