בגרות מתמטיקה 582, קיץ 2025 מועד א'

הביעו באמצעות $t$ את רדיוס המעגל.

הישר $y=x$ משיק למעגל. מצאו את הערך של $t$.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ המתקבלות באופן זה נמצא על אליפסה, ומצאו את משוואתה.

הנקודה $K$ היא המוקד הימני, והנקודה $F$ היא המוקד השמאלי של האליפסה שמצאתם בסעיף ג. $C$ היא נקודה כלשהי על האליפסה כך שמתקבל משולש $CKF$. חשבו את היקף המשולש $CKF$.

האם קיימת נקודה $C$ שבעבורה שטח המשולש $CKF$ הוא 3? נמקו את תשובתכם.

הביעו באמצעות $\underline{u}$, $\underline{v}$ ו-$\underline{w}$ את הווקטור $\overrightarrow{SM}$.

נתון כי $\overrightarrow{SM}$ מאונך ל-$\overrightarrow{DB}$. הוכיחו כי $|\underline{u}|=|\underline{v}|$.

נתון: $S(0,0,6)$, $B(0,5,0)$, $A(0,0,0)$, $D(3,p,0)$, $p>0$. מצאו את שיעורי הנקודות $D$ ו-$C$.

דרך האלכסון $AC$ מעבירים מישור המקביל למקצוע $SD$. המישור חותך את המקצוע $SB$ בנקודה $K$. מצאו את משוואת המישור.

לפניכם שתי טענות II–I. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם. טענה I: הישר $KM$ מקביל לישר $SD$. טענה II: כל ישר שמאונך למישור $ACK$, מאונך לישר $SD$.

הביעו באמצעות $x$ ו-$y$ את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(2+2i)|$.

נתונה המשוואה $z^2-z(2+2i)+4i=0$. $A$ ו-$B$ הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה. הראו כי הנקודות $A$ ו-$B$ נמצאות על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א.

הנקודות $C$ ו-$D$ נמצאות על הצירים כך ש-$ABCD$ הוא ריבוע. סובבו את הריבוע $ABCD$ סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $\alpha$ ($0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$). כל שמונה הנקודות (הנקודות $A$, $B$, $C$ ו-$D$, וארבע הנקודות שהתקבלו אחרי הסיבוב) מיוצגות על ידי פתרונות של המשוואה $z^n=b$, שבה $n$ הוא מספר טבעי ו-$b$ הוא מספר ממשי. (1) מצאו את הערך של $b$ ואת הערך של $\alpha$ בעבור $n=8$. (2) מצאו ערך אפשרי של $n$ בעבור $\alpha =15^{\circ }$, ומצאו את הערך של $b$ המתאים לו.