מה"ט חישוב סטטי — קיץ 2017 מועד א'

בתרשים מס' 1 נתונה קורת זיז מפלדה AC, ומעקה מפלדה DC.

הקורה עשויה מפרופיל I P E ויש לה שני חתכים שונים :

בתחום B-A : שטח החתך של הפרופיל הוא A1 = A

בתחום D-C : שטח החתך של הפרופיל הוא $A_2=\frac{A}{2}$

---

תיקון רשמי של מה"ט לשאלה זו

מה"ט הוציאה לשאלון זה דף «דחוף! — תיקונים והבהרות» ממחלקת הבחינות (תאריך הבחינה 6.8.17, מגמה: הנדסה אזרחית, סמל הבחינה 90322), ובו שני תיקונים לשאלה מס' 1, כלשונם:

א. בתרשים מס 1 קו המידה – 1.6 מ', 0.8 מ' מתייחס לנק. B.

ב. בתחום BC (ולא DC) שטח החתך של הפרופיל הוא : $A_2=A/2$

התיקון הוא של מה"ט עצמה והוא הקובע: נקודת החלוקה של קו המידה 1.6/0.8 מ' היא הנקודה B, והשטח המוקטן $A_2=A/2$ נמצא בקטע BC של הקורה — ולא במעקה DC כפי שנדפס בגוף השאלה. פתרו לפי התיקון.

---

נתוני התרשים

המבנה הוא מסגרת מישורית בצורת האות L: קורה אופקית AC ומעקה אנכי DC העולה מהקצה C. ציר $x$ חיובי ימינה, ציר $y$ חיובי כלפי מעלה, ראשית הצירים בנקודה A.

נקודות ומידות

מידות התרשים: A→B = 1.6 מ' · B→C = 0.8 מ' · A→C = 2.4 מ' · C→D = 1.8 מ' (אנכית כלפי מעלה).

סמכים

• בנקודה A — סמך קשיח (פילוס), מסומן בקיר מקווקו משמאל ל-A. שלוש תגובות: אופקית $H_A$, אנכית $V_A$ ומומנט $M_A$.
• אין שום סמך נוסף במבנה: AC היא קורת זיז ו-D הוא קצה חופשי. המערכת מסויימת סטטית (3 נעלמים, 3 משוואות).
• החיבור בין הקורה AC למעקה DC בנקודה C הוא חיבור קשיח (פינה), ומעביר כוח צירי, גזירה ומומנט.

עומסים

1. עומס מפורס אחיד 3.0 ט'/מ' (30 ק"נ/מ'), כלפי מטה, על הקורה בתחום A–B בלבד ($0\le x\le 1.6$ מ'). העומס נעצר בדיוק ב-B ואינו נמשך אל C.
2. כוח מרוכז 12.0 ט' (120 ק"נ) הפועל בנקודה B על ציר הקורה, בזווית 30° לציר הקורה (כלומר לאופק), ומכוון כלפי מטה ושמאלה. רכיביו: אופקי $120\cos 30^{\circ }=103.92$ ק"נ שמאלה, אנכי $120\sin 30^{\circ }=60.0$ ק"נ כלפי מטה.
3. עומס מפורס משולש אופקי על המעקה DC, הפועל בכיוון האופקי משמאל (מהפן החיצוני של המעקה לכיוון הקורה, כלומר בכיוון $-x$): אפס בראש המעקה D וגדל ליניארית עד 4.0 ט'/מ' (40 ק"נ/מ') בבסיס המעקה C. שקולו 36.0 ק"נ, בגובה 0.60 מ' מעל C.
4. כוח מרוכז 2.0 ט' (20 ק"נ), כלפי מטה, בראש המעקה בנקודה D.

חתכי הקורה (לאחר תיקון מה"ט)

חתך המעקה DC אינו נתון בשאלון ואינו נדרש לאף אחד מהסעיפים.

חומר ויחידות

• פלדה, מודול האלסטיות $E=2.1\times 10^6$ ק"ג/סמ"ר $=2.1\times 10^5$ MPa.
• המרות השאלון: 1 ט' = 10 ק"נ · 1 ט·מ' = 10 ק"נ·מ' · 1 ק"נ = 100 ק"ג.
• השאלון מתיר לעבוד בכל אחת משתי מערכות היחידות, אך אוסר לערבב ביניהן.

בתרשים מס' 2 משורטטת קורה הנשענת על סמכים A , B.

כמו-כן, משורטט חתך א-א המתאר את חתך הקורה.

המאמץ המותר בפלדה = 1,600 kg/cm² (160 mpa)

---

נתוני התרשים

הקורה (תרשים מס' 2)

• קורה פשוטה ישרה, מפתח 8.0 מ'. ציר $x$ נמדד מ-A ימינה.
• A — $x=0.00$ מ': סמך מפרקי (פין), מסומן במשולש מקווקו. שתי תגובות — אנכית ואופקית.
• B — $x=8.00$ מ': סמך נייד (גלגלת), מסומן במשולש על גלגלים. תגובה אנכית בלבד.
• C — $x=3.00$ מ': נקודת ציון על הקורה, שבה משתנה אופי העומס. מידות התרשים: A→C = 3.0 מ' · C→B = 5.0 מ' · A→B = 8.0 מ'.
• אין זיזים, אין כוחות מרוכזים ואין מומנטים מרוכזים.

העומס — עומס מפורס אחד רציף, כלפי מטה לכל אורך הקורה:

סך העומס האנכי: 26.0 ט' (260 ק"נ). אין עומס אופקי כלשהו.

חתך א-א (חתך הקורה)

החתך מורכב משני סוגי רכיבים בלבד, כמסומן בתרשים: פלטה 20/250 (מ"מ) ו-2L 200/200/20 (שני זוויתנים שווי-שוקיים).

• הפלטה עומדת אנכית, עובי 20 מ"מ ברוחב וגובה 250 מ"מ, לכל גובה החתך, ותחתיתה מיושרת עם תחתית החתך. הגובה הכולל של החתך: $H=250$ מ"מ $=25$ ס"מ.
• שני הזוויתנים מונחים גב אל גב, אחד על כל פן של הפלטה: השוק האנכית של כל זוויתן צמודה לפן הפלטה ועולה כלפי מעלה, והשוק האופקית שוכבת בתחתית החתך ופונה החוצה. נוצר חתך בצורת T הפוך — אוגן רחב בתחתית ולשון פלטה דקה מעליו.
• רוחב האוגן הכולל: $200+20+200=420$ מ"מ.
• הצירים כמסומן בתרשים: ציר $y$ הוא קו האמצע האנכי של הפלטה; ציר $x$ מונח על הסיב התחתון של החתך. לכן $X_c$ נמדד מקו האמצע ו-$Y_c$ נמדד מהסיב התחתון.

נתוני זוויתן L 200/200/20 מהטבלה:

$e$ הוא המרחק ממרכז הכובד של הזוויתן אל גב השוק.

יחידות

השאלון מתיר לעבוד בכל אחת משתי מערכות היחידות אך אוסר לערבב ביניהן: 1 ט' = 10 ק"נ · 1 ט·מ' = 10 ק"נ·מ' · 1 ק"נ = 100 ק"ג.

קורת פלדה נשענת על סמכים A, B, C ועמוסה לפי תרשים מספר 3.

בנקודות D, G יש פרקים.

המאמץ המותר בפלדה = 1,600 kg/cm² (160 mpa)

נתוני התרשים

הקורה ישרה ואופקית, אורכה הכולל 16.0 מ'. כל המרחקים נמדדים מקצה הקורה השמאלי, נקודה A.

• A — מרחק 0.0 מ' — סמך מפרקי (פין), בקצה השמאלי של הקורה.
• B — מרחק 6.0 מ' — סמך נייד (גלגלת).
• D — מרחק 8.0 מ' — פרק, וגם תחילת העומס המפורס 5.0 ט'/מ'.
• E — מרחק 10.0 מ' — סוף העומס המפורס 5.0 ט'/מ'.
• F — מרחק 11.0 מ' — תחילת העומס המפורס 2.0 ט'/מ'.
• G — מרחק 13.0 מ' — פרק, וגם סוף העומס המפורס 2.0 ט'/מ'.
• H — מרחק 14.5 מ' — נקודת הפעלת המומנט המרוכז 4.0 ט'מ.
• C — מרחק 16.0 מ' — סמך קשיח (קיבוע בקיר), בקצה הימני של הקורה.

שרשראות המידות המודפסות בתרשים: 6.0 | 2.0 | 2.0 | 1.0 | 2.0 | 1.5 | 1.5 מ', ובשרשרת השנייה 8.0 | 5.0 | 3.0 מ'.

העומסים:

• ב-A מומנט מרוכז 3.0 ט'מ (30 קנ"מ), בכיוון השעון.
• בקטע D–E (מ-8.0 מ' עד 10.0 מ') עומס מפורס אחיד 5.0 ט'/מ' (50 קנ"נ/מ') כלפי מטה; שקולו 10.0 ט' (100 קנ"נ) במרחק 9.0 מ' מ-A.
• בקטע F–G (מ-11.0 מ' עד 13.0 מ') עומס מפורס אחיד 2.0 ט'/מ' (20 קנ"נ/מ') כלפי מטה; שקולו 4.0 ט' (40 קנ"נ) במרחק 12.0 מ' מ-A.
• ב-H מומנט מרוכז 4.0 ט'מ (40 קנ"מ), נגד כיוון השעון.

על הקורה לא פועל שום עומס אופקי.

חובה לציין את היחידות של כל חישוב!!! אי-ציון היחידות יוריד נקודות.