שאלה 1 — פרק ראשון – שאלות קצרות

הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:

$\frac{2}{3}+\frac{6}{9}+\frac{10}{27}+\dots +\frac{4n-2}{3^n}=2-\frac{2n+2}{3^n}$

בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ ($BC\parallel AD$) וטרפז $BCDE$ ($CD\parallel BE$). הנקודה $M$ היא נקודת החיתוך של הצלעות $AD$ ו-$BE$ . נתון: $AB\perp BM$ , $ED\perp AD$ , $EM=BM$ . אורך הקטע $AM$ גדול פי 2.5 מאורך הקטע $DM$ . נסמן: $\angle EMD=\alpha$ .

סעיף ב (1). מצאו את הערך של $\alpha$ .

נתון: $DM=4$ .

סעיף ב (2). חשבו את שטח הטרפז $ABCD$ .

נתונות הפונקציות $f(x)=x^n(x-1)$ ו-$g(x)=x^n(x+1)$ , המוגדרות לכל $x$ . n הוא פרמטר טבעי גדול מ-1 . כל אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מייצג אחת מן הפונקציות $f(x)$ או $g(x)$ בעבור n זוגי או n אי-זוגי.

סעיף ג (1). התאימו לכל אחד מן הגרפים I–IV את הפונקצייה, $f(x)$ או $g(x)$, המתאימה לו בעבור n זוגי או n אי-זוגי.

הציבו $n=4$ וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $g(x)$ ועל ידי ציר ה-x .

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . בסרטוט מצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה-x . פונקצייה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge 0$ , ומקיימת $g(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ .

סעיף ד (1). מצאו את שיעורי ה-x של נקודות הקיצון של הפונקצייה $g(x)$ , וקבעו את סוגן.

נסמן ב-S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $f(x)$ ועל ידי ציר ה-x בתחום $1\le x\le 2.7$ . נתון: $g(2.7)=0$ , $g(4.5)=3\cdot S$ .

סעיף ד (2). הביעו באמצעות S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $f(x)$ ועל ידי ציר ה-x, בתחום $0\le x\le 4.5$ .