שאלה 1 — פרק ראשון – שאלות קצרות

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:

$2^2+4^2+6^2+8^2+\dots +(2n{)}^2=\frac{2n(2n+1)(n+1)}{3}$

חשבו את הערך של הסכום: $4^2+6^2+8^2+\dots +100^2$ .

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD ( $AB\parallel CD$ ). הנקודה O היא מפגש אלכסוני הטרפז. נתון: $\angle BAO=\angle CDO$ .

סעיף ב (1). הוכיחו כי הטרפז ABCD הוא שווה שוקיים.

הנקודה F נמצאת על הצלע BC כך שהקטע OF מקביל לבסיסי הטרפז. נתון כי אלכסוני הטרפז מאונכים זה לזה, $DO=4$ , $BO=3$ .

סעיף ב (2). מצאו את אורך הקטע OF .

הפונקציה $f(x)$ , פונקציית הנגזרת שלה $f^{\prime }(x)$ ופונקציית הנגזרת השנייה $f^{\prime \prime }(x)$ מוגדרות לכל x . לפניכם שלושה גרפים I–III. אחד מן הגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ , אחד את פונקציית הנגזרת $f^{\prime }(x)$ ואחד את פונקציית הנגזרת השנייה $f^{\prime \prime }(x)$ . בכל אחד מן הגרפים מופיעות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך שלו עם ציר ה-x . על כל אחד מן הגרפים כתובים שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה-y .

סעיף ג (1). התאימו לכל אחת מן הפונקציות $f(x)$ , $f^{\prime }(x)$ ו- $f^{\prime \prime }(x)$ את הגרף המתאר אותה. נמקו את תשובתכם.

כמה נקודות פיתול יש לפונקציה $f(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

שיעורי נקודת המקסימום של הפונקציה $f(x)$ הם $(a,5)$ .

סעיף ג (3). מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f^{\prime }(x)$ , על ידי גרף הפונקציה $f^{\prime \prime }(x)$ , על ידי הישר $x=a$ ועל ידי ציר ה-y .

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2(x+1)}{(x^2+2x{)}^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne 0$ , $x\ne -2$ .

סעיף ד (1). מצאו את תחומי החיוביות של הפונקציה $f(x)$ .

קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

חשבו את השטח הכולא על ידי גרף הפונקציה $f(x)$ , על ידי ציר ה-x ועל ידי הישרים $x=1$ ו- $x=4$ .