שאלה 1 — פרק ראשון – שאלות קצרות

הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל n טבעי:

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

סעיף א (2). האם הביטוי $1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +n(n+1)$ שווה ל-$\frac{n+1}{n}$ בעבור כל n טבעי? נמקו את תשובתכם.

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. נסמן: $\angle ACB=\alpha$, $0°<\alpha <90°$.

סעיף ב (1). הביעו באמצעות $\alpha$ את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש ABC ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש AOB.

(נתוני סעיף ב:) המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. נסמן: $\angle ACB=\alpha$, $0°<\alpha <90°$.

נתון כי היחס שהבעתם בתת-סעיף (1) שווה ל-$\sqrt{2}$, וכי הצלע CB משיקה למעגל החוסם את משולש AOB.

סעיף ב (2). הוכיחו כי מרכז המעגל O נמצא על הצלע AC.

נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית ורציפה, המוגדרת לכל x. לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מינימום אחת בלבד, ובה $x=-\frac{1}{2}$. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-x היא בנקודה $(1,0)$.

סעיף ג (1). סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה $f(x)$.

(נתוני סעיף ג:) נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית ורציפה, המוגדרת לכל x. לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מינימום אחת בלבד, ובה $x=-\frac{1}{2}$. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-x היא בנקודה $(1,0)$.

(התנאים שנקבעו לפני תת-סעיף (2):) נתון כי הפונקציה $g(x)$ היא פונקציה זוגית, המוגדרת לכל x. פונקציית הנגזרת $g^{\prime }(x)$ מקיימת $g^{\prime }(x)=-f(x)$. נתון: $g(1)=2$.

סעיף ג (2). מצאו את שיעורי נקודות המינימום של הפונקציה $g(x)$.

סעיף ג (3). לפניכם שני היגדים I–II. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. I. שיעור ה-y של נקודת המקסימום של הפונקציה $g(x)$ הוא בין 0 ל-2. II. הפונקציה $g(x)$ חיובית לכל x.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל x. אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$.

סעיף ד (1). קבעו איזה מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$. נמקו את קביעתכם.

I. $f(x)=x(x-4)(x+6)$ II. $f(x)=x(x-1)(x+3)(x+6)$ III. $f(x)=(x-4)(x-1)(x+3)(x+6)$ IV. $f(x)=(x-4)(x+1)(x+3)(x+6)$

(נתוני סעיף ד:) בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל x. אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$.

(התנאים שנקבעו לפני תת-סעיף (2):) נתונה הפונקציה $g(x)=\sqrt{f(x)}$.

סעיף ד (2). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$.

סעיף ד (3). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

(התנאים שנקבעו לפני תת-סעיף (4):) נתון: ${\int }_4^{7}g(x)dx=k$.

סעיף ד (4). הביעו באמצעות k את הערך של ${\int }_5^8\left[2\cdot g(x-1)+1\right]dx$.