ענו על u שניים /u מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

נתון כי השוויון $8+24+48+\dots +n(n+2)=\frac{n(n+a)(n+4)}{6}$ מתקיים בעבור $n=2$ . $a$ הוא פרמטר.

סעיף א (1). מצאו את הערך של $a$ .

(נתוני סעיף א:) נתון כי השוויון $8+24+48+\dots +n(n+2)=\frac{n(n+a)(n+4)}{6}$ מתקיים בעבור $n=2$ . $a$ הוא פרמטר.

סעיף א (2). בעבור הערך של $a$ שמצאתם, הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי השוויון הנתון מתקיים לכל $n$ טבעי זוגי .

כל המועמדים ללימודים באוניברסיטה נבחנים בשני מבחנים. נמצא כי מספר המועמדים שהצליחו רק במבחן הראשון קטן פי $4$ ממספר המועמדים שהצליחו בשני המבחנים. $\frac{8}{9}$ מן המועמדים שהצליחו במבחן השני, הצליחו גם במבחן הראשון. נסמן ב־$p$ את ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח רק במבחן הראשון.

סעיף ב (1). הביעו באמצעות $p$ את ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח לפחות במבחן אחד.

(נתוני סעיף ב:) כל המועמדים ללימודים באוניברסיטה נבחנים בשני מבחנים. נמצא כי מספר המועמדים שהצליחו רק במבחן הראשון קטן פי $4$ ממספר המועמדים שהצליחו בשני המבחנים. $\frac{8}{9}$ מן המועמדים שהצליחו במבחן השני, הצליחו גם במבחן הראשון. נסמן ב־$p$ את ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח רק במבחן הראשון.

סעיף ב (2). ידוע שנבחר באקראי מועמד שהצליח לפחות במבחן אחד. מהי ההסתברות שהמועמד שנבחר הצליח בשני המבחנים?

נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ , $g(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^2-1}$ , $h(x)=\sqrt{\frac{x}{x^2-1}}$ .

סעיף ג (1). מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות $f(x)$ , $g(x)$ ו־$h(x)$ .

(נתוני סעיף ג:) נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ , $g(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^2-1}$ , $h(x)=\sqrt{\frac{x}{x^2-1}}$ .

סעיף ג (2). התאימו לכל אחת מן הפונקציות $f(x)$ , $g(x)$ , $h(x)$ את הגרף המייצג אותה מבין הגרפים 1–5 שלפניכם. נמקו את קביעותיכם.

הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f^{\prime }(x)$ , מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ . נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא אי־זוגית, ויש לה נקודת מינימום אחת בלבד ששיעוריה הם $(3,-6)$ . לפונקציה $f(x)$ ולפונקציית הנגזרת $f^{\prime }(x)$ יש אסימפטוטה אופקית $y=0$ .

סעיף ד (1). סרטטו סקיצה אפשרית של גרף פונקציית הנגזרת $f^{\prime }(x)$ .

(נתוני סעיף ד:) הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f^{\prime }(x)$ , מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ . נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא אי־זוגית, ויש לה נקודת מינימום אחת בלבד ששיעוריה הם $(3,-6)$ . לפונקציה $f(x)$ ולפונקציית הנגזרת $f^{\prime }(x)$ יש אסימפטוטה אופקית $y=0$ .

נתונה הפונקציה $g(x)=f^2(x)\cdot f^{\prime }(x)$ .

סעיף ד (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $g(x)$ עם ציר ה־$x$ .

סעיף ד (3). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ ועל ידי ציר ה־$x$ .