שאלה 3 — פרק ראשון – גאומטריה אנליטית, וקטורים, טריגונומטריה במרחב, מספרים מרוכבים

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-2i|=\frac{z-\bar{z}}{2i}+2$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

נתון מספר מרוכב $w=r(\cos \theta +i\sin \theta )$, $0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$, $r>0$. נתון מצולע קמור I, שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4=\frac{1}{r^4}\cdot \left(\cos (4\theta )+i\sin (4\theta )\right)$, $z$ הוא משתנה מרוכב. הביעו באמצעות $r$ ו־$\theta$ הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע I.

נתון מצולע II, שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$, $-w$, $\frac{1}{w}$, $-\frac{1}{w}$. הביעו באמצעות $r$ ו־$\theta$ הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע II.

נתון כי מצולע II הוא מעוין. מצאו את הערך של $\theta$.

נתון כי הנקודה המייצגת את $w$ נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. מצאו את היחס בין שטח מצולע II ובין שטח מצולע I.