שאלה 3 — פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים

הביעו באמצעות $x$ ו־ $y$ את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(2+2i)|$ .

$z$ הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה $z^2-z(2+2i)+4i=0$ . $A$ ו־ $B$ הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה.

סעיף ב. הראו כי הנקודות $A$ ו־ $B$ נמצאות על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א.

הנקודות $C$ ו־ $D$ נמצאות על הצירים כך ש־ $ABCD$ הוא ריבוע. סובבו את הריבוע $ABCD$ סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $\alpha$ ($0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$) . כל שמונה הנקודות (הנקודות $A,B,C$ ו־ $D$ וארבע הנקודות שהתקבלו אחרי הסיבוב) מיוצגות על ידי פתרונות של המשוואה $z^n=b$ , שבה $n$ הוא מספר טבעי ו־ $b$ הוא מספר ממשי.

סעיף ג. (1) מצאו את הערך של $b$ ואת הערך של $\alpha$ בעבור $n=8$ . (2) מצאו ערך אפשרי של $n$ בעבור $\alpha =15^{\circ }$ , ומצאו את הערך של $b$ המתאים לו.