בגרות מתמטיקה 571, קיץ 2025 מועד א'

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:

$2^2+4^2+6^2+8^2+\dots +(2n{)}^2=\frac{2n(2n+1)(n+1)}{3}$

חשבו את הערך של הסכום: $4^2+6^2+8^2+\dots +100^2$ .

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD ( $AB\parallel CD$ ). הנקודה O היא מפגש אלכסוני הטרפז. נתון: $\angle BAO=\angle CDO$ .

סעיף ב (1). הוכיחו כי הטרפז ABCD הוא שווה שוקיים.

הנקודה F נמצאת על הצלע BC כך שהקטע OF מקביל לבסיסי הטרפז. נתון כי אלכסוני הטרפז מאונכים זה לזה, $DO=4$ , $BO=3$ .

סעיף ב (2). מצאו את אורך הקטע OF .

הפונקציה $f(x)$ , פונקציית הנגזרת שלה $f^{\prime }(x)$ ופונקציית הנגזרת השנייה $f^{\prime \prime }(x)$ מוגדרות לכל x . לפניכם שלושה גרפים I–III. אחד מן הגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ , אחד את פונקציית הנגזרת $f^{\prime }(x)$ ואחד את פונקציית הנגזרת השנייה $f^{\prime \prime }(x)$ . בכל אחד מן הגרפים מופיעות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך שלו עם ציר ה-x . על כל אחד מן הגרפים כתובים שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה-y .

סעיף ג (1). התאימו לכל אחת מן הפונקציות $f(x)$ , $f^{\prime }(x)$ ו- $f^{\prime \prime }(x)$ את הגרף המתאר אותה. נמקו את תשובתכם.

כמה נקודות פיתול יש לפונקציה $f(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

שיעורי נקודת המקסימום של הפונקציה $f(x)$ הם $(a,5)$ .

סעיף ג (3). מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f^{\prime }(x)$ , על ידי גרף הפונקציה $f^{\prime \prime }(x)$ , על ידי הישר $x=a$ ועל ידי ציר ה-y .

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2(x+1)}{(x^2+2x{)}^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne 0$ , $x\ne -2$ .

סעיף ד (1). מצאו את תחומי החיוביות של הפונקציה $f(x)$ .

קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

חשבו את השטח הכולא על ידי גרף הפונקציה $f(x)$ , על ידי ציר ה-x ועל ידי הישרים $x=1$ ו- $x=4$ .

מצאו את הערך של $a_3$ (מצאו את שתי האפשרויות).

נתון כי הסדרה A לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה A סדרה אין-סופית חדשה B . נתון כי איברי הסדרה B מקיימים $b_n=\frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}$ לכל n טבעי.

סעיף ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

בונים מאיברי הסדרה A סדרה אין-סופית נוספת C . איברי הסדרה C הם: $\frac{k}{a_1\cdot a_2},\frac{k}{a_3\cdot a_4},\frac{k}{a_5\cdot a_6},\dots$ . $k\ne 0$ הוא פרמטר.

סעיף ג (1). מצאו את מנת הסדרה C .

מצאו בעבור אילו ערכים של k הסדרה C עולה. נמקו את תשובתכם.

נסמן ב-$S_B$ את סכום הסדרה B , וב-$S_C$ את סכום הסדרה C . נתון: $S_C=4\cdot S_B$ .

סעיף ד. מצאו את הערך של k .

מצאו את הערך של P .

בוחרים באקראי 4 מצביעים.

סעיף ב. ידוע כי ארבעתם הצביעו לאותה המפלגה. מהי ההסתברות שהם הצביעו למפלגה א'?

חלק מן המצביעים הם מבוגרים והשאר צעירים. נתון כי 40% מן המצביעים המבוגרים הצביעו למפלגה ב' ו-15% מן המצביעים הצעירים הצביעו למפלגה א'.

סעיף ג. מהי ההסתברות לבחור באקראי מצביע צעיר אחד מבין כל המצביעים?

לאחר הבחירות נערך סקר טלפוני בקרב המצביעים. דני, אחד הסוקרים, התקשר באקראי למצביעים צעירים בלבד. הוא התקשר אליהם בזה אחר זה והפסיק מייד לאחר שריאיין צעיר אחד שהצביע למפלגה אחת ועוד אחד שהצביע למפלגה האחרת.

סעיף ד. מהי ההסתברות שדני התקשר ל-5 צעירים בדיוק?