בגרות מתמטיקה 572, קיץ 2024 מועד א'

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $M$ המקיימות $MA=MB$ הוא קו ישר, ומצאו את משוואתו.

הראו כי הישר שאת משוואתו מצאתם בסעיף א והישר $KL$ מאונכים זה לזה.

האם קיימת נקודה $M$ שמתקיים בעבורה $MK=ML$ ? נמקו את תשובתכם.

נתון כי בעבור אחת מן הנקודות $M$, הנמצאת מעל הישר $KL$, שטח המשולש $KLM$ הוא 9.

סעיף ג. מצאו את שיעורי הנקודה $M$.

הנקודה $M$ שמצאתם בסעיף ג נמצאת על הפרבולה $y^2=2px$, $p$ הוא פרמטר.

סעיף ד. מצאו את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה $M$.

מצאו את שיעורי הנקודה $A$.

נסמן ב־$\alpha$ את הזווית בין הישרים ${\ell }_1$ ו־${\ell }_2$.

סעיף ב. מצאו את הערך של $k$ שבעבורו מתקיים $\cos \alpha =\frac{3\sqrt{2}}{5}$.

הציבו $k=2$, וענו על הסעיפים ג-ה. המישור $\pi$ מכיל את הישרים ${\ell }_1$ ו־${\ell }_2$.

סעיף ג. מצאו את משוואת המישור $\pi$.

הנקודה $B$ נמצאת על הישר ${\ell }_2$, והנקודה $O$ היא ראשית הצירים. המשולש $AOB$ הוא שווה שוקיים, $AO=AB$.

סעיף ד. הסבירו מדוע המשולש $AOB$ נמצא במישור $\pi$.

מן הנקודה $A$ מעלים אנך למישור $\pi$ ומסמנים עליו את הנקודה $S$. נתון: נפח הפירמידה $SAOB$ הוא $\frac{14\sqrt{2}}{3}$.

סעיף ה. מצאו את שיעורי הנקודה $S$ (את שתי האפשרויות).

הביעו באמצעות $z$ את המספרים המרוכבים שמייצגים את הקודקודים $B,C,D$.

נסמן: $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$.

סעיף ב (1). כתבו הצגה קוטבית של ארבעת המספרים ההופכיים ($\frac{1}{z},\dots$) למספרים המייצגים את קודקודי המעוין.

ארבעת המספרים שמצאתם בתת-סעיף ב(1) מייצגים קודקודים של מרובע. מצאו את שטח המרובע שנוצר על ידי קודקודים אלה.

נתונה המשוואה: $w^{11}=\overline{w}$, $w$ הוא מספר מרוכב שונה מ־0.

סעיף ג. מצאו את סכום 12 הפתרונות של המשוואה.

פתרונות המשוואה שבסעיף ג מייצגים קודקודים של מצולע ששטחו שווה לשטח המרובע שמצאתם בתת-סעיף ב(2).

סעיף ד. מצאו את הערך של $r$.