בגרות מתמטיקה 572, קיץ 2024 מועד ב'

מצאו את משוואת הצלע $AB$.

בתוך המעוין חסום מעגל.

סעיף ב. מצאו את משוואת המעגל.

הנקודה $M$ היא נקודת ההשקה של המעגל והמעוין ברביע הראשון.

סעיף ג. מצאו את שיעורי הנקודה $M$.

מן הנקודה $M$ מורידים אנך לציר ה־$x$ החותך אותו בנקודה $K(a,0)$. על הישר $x=-a$ מסמנים נקודה $E$ ומעבירים דרכה ישר המקביל לציר ה־$x$. הישר המקביל חותך את האנך האמצעי לקטע $EK$ בנקודה $G$.

סעיף ד. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $G$ המתקבלות באופן זה נמצא על פרבולה, ומצאו את משוואתה.

הנקודה $N$ נמצאת ברביע הראשון על הפרבולה שאת משוואתה מצאתם בסעיף ד. שיעור ה־$x$ של הנקודה $N$ הוא 5.

סעיף ה. מצאו את משוואות שני המעגלים שמרכזם בנקודה $N$ והם משיקים למעגל החסום במעוין.

הביעו באמצעות $\underline{u}$, $\underline{v}$ ו־$\underline{w}$ את הווקטורים $\overrightarrow{BC}$ ו־$\overrightarrow{DC}$.

הקטע $SE$ הוא גובה הפירמידה. נתון: $|\underline{u}|=7$.

סעיף ב. מצאו את הערך של $\underline{u}\cdot \underline{w}$.

נתון: $\overrightarrow{BA}=(-3,4,5)$.

סעיף ג. מצאו את גודל הזווית שבין $SB$ ובין הבסיס של הפירמידה.

נתון: $E(0,4,5)$, מישור הבסיס $ABCD$ מקביל לציר $z$.

סעיף ד. מצאו את משוואת המישור שעליו מונח הבסיס של הפירמידה.

נתון: שיעור ה־$x$ של הקודקוד $B$ הוא 3.

סעיף ה. מצאו את שיעורי הקודקוד $B$.

מצאו את פתרונות המשוואה: $z^6+64i=0$ ($z$ הוא מספר מרוכב).

מצאו את ארבעת הפתרונות של המשוואה: $\frac{z^6+64i}{z^2-4i}=0$ ($z$ הוא מספר מרוכב).

הפתרונות שמצאתם בתת־סעיף א(2) מייצגים קודקודים של מרובע במישור גאוס.

סעיף ב. מצאו את שטח המרובע.

מסובבים את המרובע (סביב הראשית) בזווית $\alpha$ נגד כיוון השעון, $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$.

סעיף ג. מהו הערך של מכפלת כל המספרים המייצגים את קודקודי המרובע בעבור $\alpha =45^{\circ }$? נמקו את תשובתכם.

מצאו את שני הערכים של $\alpha$ כך שמכפלת כל המספרים המייצגים את קודקודי המרובע לאחר הסיבוב תהיה מספר מדומה טהור.

מהו הערך של המכפלה בעבור כל אחד מן הערכים של $\alpha$ שמצאתם?