בגרות מתמטיקה 572, חורף 2024 מועד א'

הביעו באמצעות $a$ את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות כל הנקודות $M$ .

סרטטו את העקום המתואר על ידי המשוואה שמצאתם בסעיף א. סרטטו את שתי האפשרויות במערכת צירים אחת.

באחת מן הנקודות $M$ , שנמצאת ברביע הראשון, העבירו ישר $\ell$ המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. הוכיחו כי הישר $\ell$ מקביל לישר $AC$ .

נתון גם כי $AM=10$ (הנקודה $M$ נמצאת ברביע הראשון), והקודקוד $B$ נמצא על הישר $x=-2$ . מצאו את שיעורי הקודקודים $B$ ו־$C$ .

דרך הקודקוד $A$ העבירו מעגל המשיק לישרים $\ell$ ו־$AC$ . מצאו את שיעורי מרכז המעגל.

הראו כי לכל ערך של $m$ הישר $\ell$ אינו מקביל למישור $\pi$ .

נתון כי הישר $\ell$ ניצב למישור $\pi$ וחותך אותו בנקודה $A$ . מצאו את הערך של הפרמטר $m$ .

מצאו את שיעורי הנקודה $A$ .

לפניכם טענה: קיים מישור אחד בלבד המכיל את הישר $\ell$ ועובר דרך הנקודה $(5,-5,-9)$ . קבעו אם הטענה נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $(x,y)$ במישור גאוס המקיימות:

$|6-\bar{z}-8i{|}^2-|10i|=|9+12i|$

הוא מעגל.

הנקודה $M$ היא מרכז המעגל המתואר בסעיף א. המספרים המרוכבים $z_A$ ו־$z_M$ מייצגים את הנקודות $A$ ו־$M$ , בהתאמה. נתון: למספרים $z_A$ ו־$z_M$ יש אותו ארגומנט (זווית). $2|z_A|=|z_M|$ . מצאו את שיעורי הנקודה $A$ .

נתונה סדרה הנדסית $z_1,z_2,z_3,\dots$ האיבר הראשון בסדרה מייצג את הנקודה $A$ , והאיבר החמישי בסדרה מייצג את הנקודה $M$ . מצאו את מנת הסדרה (כל האפשרויות).

חשבו את הסכום: $z_1\cdot \overline{z_1}+z_2\cdot \overline{z_2}+\dots +z_{10}\cdot \overline{z_{10}}$ .