בגרות מתמטיקה 572, קיץ 2025 מועד א'

הביעו באמצעות $t$ את רדיוס המעגל.

הישר $y=x$ משיק למעגל.

סעיף ב. מצאו את הערך של $t$ .

הזיזו את מעגל $I$ שמאלה כך שהתקבל מעגל $II$ שמרכזו בראשית הצירים $O$ . $A$ היא נקודה כלשהי על מעגל $II$ כך ש־ $-1.5\le y_A\le 1.5$ . דרך נקודה $A$ מעבירים מיתר $AB$ המאונך לציר ה־$y$ . נקודה $P$ נמצאת על המיתר $AB$ כך שמתקיים $AB=2\cdot PO$ .

סעיף ג. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ המתקבלות באופן זה נמצא על אליפסה, ומצאו את משוואתה.

הנקודה $K$ היא המוקד הימני, והנקודה $F$ היא המוקד השמאלי של האליפסה שמצאתם בסעיף ג. $C$ היא נקודה כלשהי על האליפסה כך שמתקבל משולש $CKF$ .

סעיף ד. חשבו את היקף המשולש $CKF$ .

האם קיימת נקודה $C$ שבעבורה שטח המשולש $CKF$ הוא 3 ? נמקו את תשובתכם.

הביעו באמצעות $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ו־ $\vec{w}$ את הווקטור $\overrightarrow{SM}$ .

נתון כי $\overrightarrow{SM}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{DB}$ .

סעיף ב. הוכיחו כי $|\vec{u}|=|\vec{v}|$ .

נתון: $S(0,0,6)$ , $B(0,5,0)$ , $A(0,0,0)$ . $p>0$ , $D(3,p,0)$ .

סעיף ג. מצאו את שיעורי הנקודות $D$ ו־ $C$ .

דרך האלכסון $AC$ מעבירים מישור המקביל למקצוע $SD$ . המישור חותך את המקצוע $SB$ בנקודה $K$ .

סעיף ד. מצאו את משוואת המישור.

לפניכם שתי טענות I–II . קבעו בעבור כל אחת מן הטענות אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם. I. הישר $KM$ מקביל לישר $SD$ . II. כל ישר שמאונך למישור $ACK$ , מאונך לישר $SD$ .

I הישר $KM$ מקביל לישר $SD$ .

II כל ישר שמאונך למישור $ACK$ , מאונך לישר $SD$ .

הביעו באמצעות $x$ ו־ $y$ את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(2+2i)|$ .

$z$ הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה $z^2-z(2+2i)+4i=0$ . $A$ ו־ $B$ הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה.

סעיף ב. הראו כי הנקודות $A$ ו־ $B$ נמצאות על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א.

הנקודות $C$ ו־ $D$ נמצאות על הצירים כך ש־ $ABCD$ הוא ריבוע. סובבו את הריבוע $ABCD$ סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $\alpha$ ($0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$) . כל שמונה הנקודות (הנקודות $A,B,C$ ו־ $D$ וארבע הנקודות שהתקבלו אחרי הסיבוב) מיוצגות על ידי פתרונות של המשוואה $z^n=b$ , שבה $n$ הוא מספר טבעי ו־ $b$ הוא מספר ממשי.

סעיף ג. (1) מצאו את הערך של $b$ ואת הערך של $\alpha$ בעבור $n=8$ . (2) מצאו ערך אפשרי של $n$ בעבור $\alpha =15^{\circ }$ , ומצאו את הערך של $b$ המתאים לו.