בגרות מתמטיקה 572, קיץ 2025 מועד ב'

הביעו באמצעות $k$ את משוואת המעגל.

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־$y$ . הנקודה $D$ היא נקודת החיתוך של הקטע $BF$ עם המעגל.

סעיף ב (1). מצאו את היחס בין הקטע $BD$ ובין הקטע $DF$ .

הביעו באמצעות $k$ את שיעורי הנקודה $D$ .

הביעו באמצעות $k$ את משוואת המשיק למעגל בנקודה $D$ .

בונים ריבוע שאורך הצלע שלו הוא 15 . אחת מצלעות הריבוע נמצאת על המשיק שאת משוואתו מצאתם בסעיף ג. הנקודה $B$ נמצאת בתוך הריבוע.

סעיף ד. הביעו באמצעות $k$ את משוואת הישר שעליו נמצאת צלע הריבוע המקבילה למשיק.

נתון כי הנקודה $B$ היא נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע.

סעיף ה. מצאו את הערך של $k$ .

הביעו באמצעות $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ את $\overrightarrow{O^{\prime }N}$ .

הוכיחו כי הנקודות $O^{\prime }$ , $N$ , $K$ נמצאות על ישר אחד, ומצאו את היחס בין $O^{\prime }K$ ובין $O^{\prime }N$ .

נתון: $O(0,0,0)$ , $A(4,0,0)$ , $E(0,1,6)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־$y$ , והקודקוד $O^{\prime }$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־$z$ .

סעיף ב. מצאו את שיעורי הנקודות $N$ ו־$B$ .

מצאו את משוואת המישור $A^{\prime }K{B}^{\prime }$ .

מצאו את המרחק בין הנקודה $N$ ובין המישור $A^{\prime }K{B}^{\prime }$ .

מצאו את נפח הפירמידה $N{A}^{\prime }K{B}^{\prime }$ .

מצאו את המספר $z_2$ .

נתונה המשוואה $w^3=z_1+z_2$ , $w$ הוא משתנה מרוכב.

סעיף ב. מצאו את פתרונות המשוואה.

נתון מספר מרוכב $z=2(\cos \theta +i\cdot \sin \theta )$ , $0°\le \theta <360°$ . נתון כי המספרים $z$ ו־ $z^3$ נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית הצירים.

סעיף ג. מצאו את ארבע האפשרויות של המספר $z$ .

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב וארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ג, מייצגים את כל הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס.

סעיף ד (1). סרטטו את המצולע במערכת צירים.

חשבו את השטח של המצולע.

נתון מספר מרוכב $3(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ , $0°\le \alpha <360°$ . מכפילים כל אחד מן המספרים המייצגים את קודקודי המצולע במספר מרוכב זה, כך שנוצר מצולע חדש.

סעיף ה. מצאו פי כמה גדול שטח המצולע החדש משטח המצולע שמצאתם בסעיף ד.