בגרות מתמטיקה 572, חורף 2025 מועד א'

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ המתקבלות באופן זה נמצא על מעגל, ומצאו את משוואתו. הביעו את תשובתכם באמצעות $a$ .

נתון כי השטח הגדול ביותר של המשולש $APB$ הוא $156.25$ . מצאו את הערך של $a$ .

הציבו $a=\frac{1}{2}$ וענו על סעיפים ג–ד. אמצע הקטע $AB$ הוא מוקד של פרבולה שמשוואתה קנונית. הפרבולה והמעגל שמצאתם נחתכים ברביע הראשון בנקודה $C$ . מצאו את שיעורי הנקודה $C$ .

הישר $\ell$ משיק לפרבולה בנקודה $C$ . מעבירים משיק למעגל שמצאתם. נתון כי משיק זה מקביל לישר $\ell$ . מצאו את המרחק בין הישר $\ell$ ובין המשיק למעגל (מצאו את שתי האפשרויות).

הוכיחו כי $\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־$\overrightarrow{BC}$ .

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0,0,0)$ , $B(6,8,0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־$x$ , ושיעור ה־$z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. מצאו את שיעורי הקודקודים $C$ ו־$S$ .

הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש־$\overrightarrow{SF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$ . דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$ , וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$ .

סעיף ג (1). מצאו הצגה פרמטרית של הישר $FM$ .

(נתוני סעיף ג:) הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש־$\overrightarrow{SF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$ . דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$ , וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$ .

סעיף ג (2). מצאו את שיעורי הנקודה $M$ .

מצאו פי כמה גדול נפח הפירמידה $MABC$ מנפח הפירמידה $FAEC$ . נמקו את תשובתכם.

הביעו באמצעות $r$ ו־$\theta$ הצגה קוטבית של המספר $\frac{1}{w}$ .

הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את המספר $w$ , והנקודה $B$ מייצגת את המספר $\frac{1}{w}$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון כי שטח המשולש $AOB$ הוא $\frac{\sqrt{2}}{4}$ והזווית $AOB$ היא זווית חדה. מצאו את הערך של $\theta$ .

נתונות שתי משוואות: I. $z^8=w^8$ II. $z^8=(w\cdot \overline{w}{)}^4$ $z$ הוא מספר מרוכב. נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II .

סעיף ג (1). מצאו כמה קודקודים יש למצולע.

(נתוני סעיף ג:) נתונות שתי משוואות: I. $z^8=w^8$ II. $z^8=(w\cdot \overline{w}{)}^4$ $z$ הוא מספר מרוכב. נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II .

סעיף ג (2). האם כל קודקודי המצולע נמצאים על מעגל אחד שמרכזו בראשית הצירים? נמקו את תשובתכם.

נתון כי שטח המצולע הוא $62$ . מצאו את הערך של $r$ .