בגרות מתמטיקה 572, קיץ 2026 מועד א'

מצאו את שיעורי הנקודה $A$ .

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה $M$ . נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה $A$ , וכי ציר ה־$y$ משיק למעגל כך ששיעור ה־$x$ של הנקודה $M$ קטן משיעור ה־$x$ של הנקודה $A$ .

סעיף ב (1). מצאו את משוואת הישר $AM$ .

מצאו את משוואת המעגל.

נקודה $B$ היא נקודה כלשהי על המעגל. דרך נקודה $B$ מעבירים משיק למעגל. נקודה $P$ נמצאת על המשיק כך ש־ $BP=36$ .

סעיף ג (1). מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ המתקבלות באופן זה.

האם על המקום הגאומטרי שמצאתם יש שתי נקודות שהמרחק ביניהן הוא 80 ? נמקו את תשובתכם.

הביעו את $\overrightarrow{EA}$ ו־ $\overrightarrow{EC}$ באמצעות $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ו־ $\vec{w}$ .

הנקודה $M$ מקיימת $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{6}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}+\frac{1}{12}\vec{w}$ .

סעיף ב. הביעו את $\overrightarrow{EM}$ באמצעות $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ו־ $\vec{w}$ .

נתון: $\overrightarrow{EM}=a\cdot \overrightarrow{EA}+b\cdot \overrightarrow{EC}$ . $a$ ו־$b$ הם פרמטרים.

סעיף ג (1). מצאו את הערך של $a$ ואת הערך של $b$ .

האם הנקודה $M$ נמצאת במישור $AEC$ ? נמקו את תשובתכם.

נתון כי $|\vec{w}|=4$ והווקטור $\overrightarrow{BM}$ מאונך למישור $AEC$ .

סעיף ד. מצאו את הערך של $|\vec{u}|$ ואת הערך של $|\vec{v}|$ .

חשבו את המרחק בין הנקודה $B$ ובין המישור $AEC$ .

מצאו את כל פתרונות המשוואה.

נתונים שני מספרים מרוכבים: $w_1=r\cdot (\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha )$ , $w_2=2r\cdot (\cos 4\alpha +i\cdot \sin 4\alpha )$ . $50^{\circ }<\alpha <130^{\circ }$ . שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים $w_1$ ו־ $w_2$ נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים $O$ במישור גאוס.

סעיף ב. מצאו את שני הערכים האפשריים של $\alpha$ .

נתון כי $w_1$ הוא אחד מן הפתרונות שמצאתם בסעיף א.

סעיף ג. מצאו את הערך של $\alpha$ ואת הערך של $r$ .

נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: $w_3=4\cdot i$ , $w_4=\frac{8}{i}$ . $ABCD$ הוא מרובע קמור. הקודקוד $A$ מיוצג על ידי המספר $w_1$ , הקודקוד $B$ מיוצג על ידי המספר $w_3$ , הקודקוד $C$ מיוצג על ידי המספר $w_2$ , והקודקוד $D$ מיוצג על ידי המספר $w_4$ .

סעיף ד. הראו כי שטח המרובע $ABCD$ הוא 36 .

$u$ הוא מספר מרוכב. הנקודה $E$, שמיוצגת על ידי המספר $u$, נמצאת ברביע הראשון על חוצה הזווית $BOA$ . נתון כי $|u|>1$ , $\bar{u}+\frac{1}{u}=5.2\cdot (\cos 285^{\circ }+i\cdot \sin 285^{\circ })$ .

סעיף ה. מצאו את המספר המרוכב $u$ .