בגרות מתמטיקה 572, חורף 2026 מועד א'

מצאו את משוואת האליפסה.

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־$x$. דרך הנקודה $A$ העבירו ישר העובר דרך ראשית הצירים, הנקודה $O$. הנקודה $C$ היא נקודה כלשהי על הישר $AO$. הנקודה $P$ היא אמצע הקטע $BC$. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$.

מצאו את משוואת המעגל המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם, ומשיק לישר $AO$ בנקודה $O$.

מצאו את אורך המקטוע $B{B}^{\prime }$.

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x}=(0,7,6)+t(0,2,1)$. אורך המקטוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$, ושיעור ה־$y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. מצאו את שיעורי הקודקוד $A$.

מצאו את משוואת המישור $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$.

נתונה נקודה $M(k,1,3)$, $k$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי גודל הזווית שבין הישר $AB$ ובין הישר $AM$ הוא $60^{\circ }$. מצאו את הערך של $k$ (תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם).

נתון כי הנקודה $M$ נמצאת על המישור $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. מצאו את נפח התיבה.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-2i|=\frac{z-\bar{z}}{2i}+2$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

נתון מספר מרוכב $w=r(\cos \theta +i\sin \theta )$, $0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$, $r>0$. נתון מצולע קמור I, שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4=\frac{1}{r^4}\cdot \left(\cos (4\theta )+i\sin (4\theta )\right)$, $z$ הוא משתנה מרוכב. הביעו באמצעות $r$ ו־$\theta$ הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע I.

נתון מצולע II, שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$, $-w$, $\frac{1}{w}$, $-\frac{1}{w}$. הביעו באמצעות $r$ ו־$\theta$ הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע II.

נתון כי מצולע II הוא מעוין. מצאו את הערך של $\theta$.

נתון כי הנקודה המייצגת את $w$ נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. מצאו את היחס בין שטח מצולע II ובין שטח מצולע I.