בגרות מתמטיקה 571, קיץ 2023 מועד א'

נתונות שתי סדרות המוגדרות לכל $n$ טבעי: $a_n=2n-1$, $b_n=2^n$. נסמן: $T_n=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$.

סעיף א (1). (1) הוכיחו כי: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו מתקיים: $T_k=(2k-3)\cdot 2^{k+1}$ אז מתקיים: $T_{k+1}=(2k-1)\cdot 2^{k+2}$.

(נתוני סעיף א:) נתונות שתי סדרות המוגדרות לכל $n$ טבעי: $a_n=2n-1$, $b_n=2^n$. נסמן: $T_n=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$.

סעיף א (2). (2) הסבירו מדוע טענה זו אינה נכונה.

בטרפז $ABCD$ ($AB\parallel CD$) הקטע $EF$ הוא קטע אמצעים. הקטע $EF$ חותך את האלכסונים $AC$ ו־$BD$ של הטרפז בנקודות $H$ ו־$G$ בהתאמה. נתון כי המרובע $ABHG$ הוא מקבילית.

סעיף ב (1). (1) הוכיחו: $GH=2EG$.

(נתוני סעיף ב:) בטרפז $ABCD$ ($AB\parallel CD$) הקטע $EF$ הוא קטע אמצעים. הקטע $EF$ חותך את האלכסונים $AC$ ו־$BD$ של הטרפז בנקודות $H$ ו־$G$ בהתאמה. נתון כי המרובע $ABHG$ הוא מקבילית.

סעיף ב (2). (2) הוכיחו: הקטע $AM$ חוצה את הקטע $DH$.

לפניכם הגרפים I–III, המייצגים את הפונקציה $f(x)$, את פונקציית הנגזרת הראשונה $f^{\prime }(x)$, ואת פונקציית הנגזרת השנייה $f^{\prime \prime }(x)$. הפונקציות מוגדרות עבור $0\le x\le 3$.

סעיף ג (1). (1) התאימו כל אחד מן הגרפים I–III לכל אחת מן הפונקציות $f(x)$, $f^{\prime }(x)$ ו־$f^{\prime \prime }(x)$. נמקו.

(נתוני סעיף ג:) לפניכם הגרפים I–III, המייצגים את הפונקציה $f(x)$, את פונקציית הנגזרת הראשונה $f^{\prime }(x)$, ואת פונקציית הנגזרת השנייה $f^{\prime \prime }(x)$. הפונקציות מוגדרות עבור $0\le x\le 3$.

סעיף ג (2). (2) מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודת הפיתול שלה.

סעיף ג (3). (3) מצאו את הערך של האינטגרל: ${\int }_0^{0.8}{f}^{\prime \prime }(x)dx$.

לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת עבור $x\ne 1$, $x\ne -1$. משוואות האסימפטוטות של $f(x)$ הן: $x=1$, $x=-1$, $y=k$, $k>1$. שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־$y$ הם $(0,-a)$, $a$ הוא מספר חיובי.

סעיף ד (1). (1) מצאו עבור אילו ערכים של $a$ יש לגרפים של הפונקציות $f(x)$ ו־$\frac{1}{f(x)}$ שתי נקודות חיתוך. נמקו.

(נתוני סעיף ד:) לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת עבור $x\ne 1$, $x\ne -1$. משוואות האסימפטוטות של $f(x)$ הן: $x=1$, $x=-1$, $y=k$, $k>1$. שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־$y$ הם $(0,-a)$, $a$ הוא מספר חיובי.

סעיף ד (2). (2) נתון כי המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של הפונקציות $f(x)$ ו־$\frac{1}{f(x)}$ הוא $1.5$. מהו הערך של $k$? נמקו.

הביעו את המנה של הסדרה החדשה באמצעות $q_A$ ו־$q_B$.

הסדרה $A$ אינה עולה ואינה יורדת, והסדרה $B$ עולה. בנוגע לכל אחד משני ההיגדים (1)–(2) שלפניכם, קבעו אם הוא נכון או לא נכון ונמקו את קביעתכם.

סעיף ב (1). (1) מנת הסדרה החדשה היא חיובית.

(נתוני סעיף ב:) הסדרה $A$ אינה עולה ואינה יורדת, והסדרה $B$ עולה. בנוגע לכל אחד משני ההיגדים (1)–(2) שלפניכם, קבעו אם הוא נכון או לא נכון ונמקו את קביעתכם.

סעיף ב (2). (2) כל איברי הסדרה $B$ הם שליליים.

המספרים $c_1$, $c_2$ ו־$c_3$ הם שלושה איברים ראשונים בסדרה חשבונית. נתון כי $c_2$ שווה ל־$-c_1$, ומתקיים גם: $\frac{c_1\cdot c_2}{c_3}=-\frac{1}{45}$. מצאו את $c_1$.

נתון כי המנה של הסדרה $A$ שווה ל־$c_1$, ומתקיים גם: $\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+\cdots =\frac{a_1+a_2+a_3+\dots }{b_1+b_2+b_3+\dots }$. מצאו את הערך של $q_B$.

בחרו באקראי אחד מתלמידי שנה ב'. מהי ההסתברות שהוא נגד ההצעה?

ידוע כי ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מבין תלמידי שנה א' הוא בעד ההצעה, גדולה ב־$\frac{13}{35}$ מן ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מבין תלמידי שנה ב' הוא בעד ההצעה. חשבו את הערך של $p$.

בחרו באקראי אחד מן המשתתפים במשאל. חשבו את ההסתברות שמתקיים לפחות אחד משני התנאים האלה: I. המשתתף שנבחר הוא תלמיד שנה ב'. II. המשתתף שנבחר בעד ההצעה.

בחרו באקראי $5$ מן המשתתפים במשאל. ידוע כי כל החמישה שנבחרו הם תלמידי שנה ב'. מהי ההסתברות שלפחות שניים מהם בעד ההצעה וגם לפחות שניים מהם נגד ההצעה?