בגרות מתמטיקה 571, קיץ 2024 מועד א'

הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל n טבעי:

$4+13+\dots +\frac{5n^2+3n}{2}=\frac{n(n+1)(5n+7)}{6}$

נתונות הפונקציות $f(x)$, $f^{\prime }(x)$ ו-$f^{\prime \prime }(x)$ המוגדרות לכל $x\ne 0$. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה $f^{\prime \prime }(x)$. לגרף הפונקצייה $f^{\prime \prime }(x)$ יש שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה-x, ושיעוריהן הם $(a,0),(b,0),(d,0)$. הנקודה $(c,e)$ היא נקודת הקיצון של הפונקצייה $f^{\prime \prime }(x)$.

סעיף ב (1). הביעו באמצעות a,b,c,d,e, אם יש צורך, את תחומי העלייה והירידה של הנגזרת $f^{\prime }(x)$.

(נתוני סעיף ב:) נתונות הפונקציות $f(x)$, $f^{\prime }(x)$ ו-$f^{\prime \prime }(x)$ המוגדרות לכל $x\ne 0$. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה $f^{\prime \prime }(x)$. לגרף הפונקצייה $f^{\prime \prime }(x)$ יש שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה-x, ושיעוריהן הם $(a,0),(b,0),(d,0)$. הנקודה $(c,e)$ היא נקודת הקיצון של הפונקצייה $f^{\prime \prime }(x)$.

נתונה הפונקצייה $h(x)$, המקיימת: $h^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)-e$. הפונקצייה $h(x)$ מוגדרת לכל $x\ne 0$.

סעיף ב (2). מצאו כמה נקודות קיצון וכמה נקודות פיתול יש לפונקצייה $h(x)$ (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$, ועליו כתובים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה-x ושיעורי נקודת המינימום שלה. הפונקצייה מוגדרת לכל x. נתונות הפונקציות: $g(x)=|f(x)+m|$, $h(x)=|f(x)|+m$. m הוא פרמטר, $0<m<2$.

סעיף ג (1). הביעו באמצעות m, אם יש צורך, את שיעורי נקודת המקסימום של הפונקצייה $g(x)$.

(נתוני סעיף ג:) בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$, ועליו כתובים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה-x ושיעורי נקודת המינימום שלה. הפונקצייה מוגדרת לכל x. נתונות הפונקציות: $g(x)=|f(x)+m|$, $h(x)=|f(x)|+m$. m הוא פרמטר, $0<m<2$.

סעיף ג (2). הביעו באמצעות m, אם יש צורך, את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה $h(x)$, וקבעו את סוגן.

סעיף ג (3). לפניכם שתי טענות, I–II. קבעו בעבור כל טענה אם היא נכונה או אינה נכונה. נמקו את קביעותיכם. I. הפונקציות $g(x)$ ו-$h(x)$ חיוביות לכל ערך של x. II. לכל ערך של m בתחום $0<m<2$ מתקיים שהישר $y=m+\frac{1}{2}$ חותך כל אחת מן הפונקציות $g(x)$ ו-$h(x)$ בשלוש נקודות.

המרובע ABCD הוא בר חסימה במעגל, כך ש-AD הוא קוטר במעגל. הנקודה F נמצאת על המשך הצלע CB, כך ש-$FB\perp FA$, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

סעיף ד (1). הוכיחו: $△ACD\sim △AFB$.

(נתוני סעיף ד:) המרובע ABCD הוא בר חסימה במעגל, כך ש-AD הוא קוטר במעגל. הנקודה F נמצאת על המשך הצלע CB, כך ש-$FB\perp FA$, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

נתון: $\angle BDA=24°$.

סעיף ד (2). מצאו את היחס בין שטח המשולש ACD ובין שטח המשולש AFB.

הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, והביעו את מנתה באמצעות q.

לפניכם שלוש טענות, I–III. קבעו עבור כל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם. I. הסדרה A לא עולה ולא יורדת. II. הסדרה B היא סדרה עולה. III. האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה A יוצרים סדרה עולה.

נתון: הסדרה B היא סדרה אין-סופית שסכומה הוא $\frac{1}{8}$.

סעיף ג. מצאו את ערכו של q.

נתונה סדרה הנדסית נוספת C, המוגדרת לכל n טבעי באופן הזה: $c_n=\frac{a_n}{b_n}$. נתון: $c_3+c_4+\dots +c_m=44,307$, m הוא מספר טבעי.

סעיף ד. מצאו את הערך של m.

מצאו את P.

מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יענה נכון על 3 שאלות בדיוק.

מספר הנקודות הניתן לכל שאלה זהה למספר השאלה. כלומר מתמודד שענה נכון על שאלה 1, מקבל נקודה אחת. מתמודד שענה נכון על שאלה 2 מקבל שתי נקודות, וכן הלאה.

סעיף ג. מצאו את ההסתברות שמתמודד יצבור 14 נקודות לפחות.

(כלל הניקוד, כפי שנקבע לפני סעיף ג:) מספר הנקודות הניתן לכל שאלה זהה למספר השאלה. כלומר מתמודד שענה נכון על שאלה 1, מקבל נקודה אחת. מתמודד שענה נכון על שאלה 2 מקבל שתי נקודות, וכן הלאה.

סעיף ד. מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יצבור 6 נקודות בדיוק.

סעיף ה. ידוע כי אחינועם ענתה נכון על 3 שאלות בדיוק. מצאו את ההסתברות שהיא צברה 6 נקודות בדיוק.