בגרות מתמטיקה 571, חורף 2024 מועד א'

הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי זוגי מתקיים:

$48+144+288+\dots +6n(n+2)=n(n+2)(n+4)$

המרובע $BCED$ חסום במעגל. המשך המיתר $BD$ והמשך המיתר $CE$ נפגשים בנקודה $A$ (ראו סרטוט). נתון: $AD=CE$ , $AE=2CE$ .

סעיף ב (1). הוכיחו: $△AED\sim △ABC$ .

(נתוני סעיף ב:) המרובע $BCED$ חסום במעגל. המשך המיתר $BD$ והמשך המיתר $CE$ נפגשים בנקודה $A$ (ראו סרטוט). נתון: $AD=CE$ , $AE=2CE$ .

סעיף ב (2). מצאו את היחס $\frac{AB}{AC}$ .

סעיף ב (3). נתון: $\angle DEC=150^{\circ }$ . האם $BE$ הוא קוטר במעגל הנתון? נמקו את תשובתכם.

לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)$ . לפונקציה $f(x)$ יש שתי אסימפטוטות מאונכות לציר ה־$x$ ושתי אסימפטוטות מאונכות לציר ה־$y$ . אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$ .

I. $\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}$   II. $\frac{x}{\sqrt{x^2-16}}$   III. $\frac{x^2}{\sqrt{x^2+16}}$   IV. $\frac{x^2}{\sqrt{x^2-16}}$

סעיף ג (1). קבעו איזה מן הביטויים I–IV מתאר את הפונקציה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

(נתוני סעיף ג:) לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)$ . לפונקציה $f(x)$ יש שתי אסימפטוטות מאונכות לציר ה־$x$ ושתי אסימפטוטות מאונכות לציר ה־$y$ . אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$ .

סעיף ג (2). נתונה הפונקציה $g(x)$ , המוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה $f(x)$ . פונקציית הנגזרת $g^{\prime }(x)$ מקיימת: $g^{\prime }(x)=f(x)+\frac{5}{3}$ . מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $g(x)$ .

הגרפים I–II בסרטוט שלפניכם מתארים את הפונקציה $f(x)$ ואת פונקציית הנגזרת $f^{\prime }(x)$ . כל נקודות הקיצון של הפונקציות $f(x)$ ו־$f^{\prime }(x)$ מתוארות בסרטוט.

סעיף ד (1). קבעו איזה גרף, I או II , מתאר את הפונקציה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

(נתוני סעיף ד:) הגרפים I–II בסרטוט שלפניכם מתארים את הפונקציה $f(x)$ ואת פונקציית הנגזרת $f^{\prime }(x)$ . כל נקודות הקיצון של הפונקציות $f(x)$ ו־$f^{\prime }(x)$ מתוארות בסרטוט.

סעיף ד (2). כמה נקודות פיתול יש לפונקציה $f(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

סעיף ד (3). הנקודות $A$ , $B$ ו־$C$ הן נקודות הקיצון של גרף II , כמתואר בסרטוט. נתון: $y_A=6$ , $y_B=2$ . השטח המוגבל על ידי גרף I ועל ידי ציר ה־$x$ (השטח המקווקו בסרטוט) שווה ל־$7$ . מצאו את שיעור ה־$y$ של הנקודה $C$ .

מצאו עבור אילו ערכים של $k$ : (1) הסדרה $A$ עולה, (2) הסדרה $A$ יורדת, (3) הסדרה $A$ קבועה.

נתון כי $a_{17}=-232$ . מצאו את הערך של $k$ .

הציבו את הערך של $k$ שמצאתם וענו על הסעיפים ג–ד. נתונה סדרה חדשה, $B$ , שאיבריה מוגדרים כך: לכל $n$ טבעי, $b_n=a_n+24n+17$ . הוכיחו כי הסדרה $B$ היא חשבונית.

חשבו את הסכום: $b_1^2-b_2^2+b_3^2-b_4^2+\dots +b_{29}^2-b_{30}^2$ .

הביעו באמצעות $p$ ו־$k$ את ההסתברות שהתושב שנבחר היה צעיר התומך בהקמת הפארק.

מחצית מן התושבים הצעירים שהשתתפו בסקר תמכו בהקמת הפארק. $\frac{3}{7}$ מן המשתתפים בסקר שתמכו בהקמת הפארק היו צעירים. מצאו את $p$ ואת $k$ .

יוסי, כתב חדשות מקומי, ראיין באקראי $6$ מן התושבים הצעירים שהשתתפו בסקר. מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם תמך בהקמת הפארק ולפחות אחד מהם התנגד להקמת הפארק?

לאחר מכן ראיין יוסי באקראי, בזה אחר זה, $5$ תושבים שהשתתפו בסקר. מהי ההסתברות שבדיוק $3$ מן המרואיינים האלה היו צעירים, ושהמרואיין האחרון מהם היה צעיר?