בגרות מתמטיקה 571, קיץ 2025 מועד ב'

הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:

$\frac{2}{3}+\frac{6}{9}+\frac{10}{27}+\dots +\frac{4n-2}{3^n}=2-\frac{2n+2}{3^n}$

בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ ($BC\parallel AD$) וטרפז $BCDE$ ($CD\parallel BE$). הנקודה $M$ היא נקודת החיתוך של הצלעות $AD$ ו-$BE$ . נתון: $AB\perp BM$ , $ED\perp AD$ , $EM=BM$ . אורך הקטע $AM$ גדול פי 2.5 מאורך הקטע $DM$ . נסמן: $\angle EMD=\alpha$ .

סעיף ב (1). מצאו את הערך של $\alpha$ .

נתון: $DM=4$ .

סעיף ב (2). חשבו את שטח הטרפז $ABCD$ .

נתונות הפונקציות $f(x)=x^n(x-1)$ ו-$g(x)=x^n(x+1)$ , המוגדרות לכל $x$ . n הוא פרמטר טבעי גדול מ-1 . כל אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מייצג אחת מן הפונקציות $f(x)$ או $g(x)$ בעבור n זוגי או n אי-זוגי.

סעיף ג (1). התאימו לכל אחד מן הגרפים I–IV את הפונקצייה, $f(x)$ או $g(x)$, המתאימה לו בעבור n זוגי או n אי-זוגי.

הציבו $n=4$ וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $g(x)$ ועל ידי ציר ה-x .

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . בסרטוט מצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה-x . פונקצייה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge 0$ , ומקיימת $g(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ .

סעיף ד (1). מצאו את שיעורי ה-x של נקודות הקיצון של הפונקצייה $g(x)$ , וקבעו את סוגן.

נסמן ב-S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $f(x)$ ועל ידי ציר ה-x בתחום $1\le x\le 2.7$ . נתון: $g(2.7)=0$ , $g(4.5)=3\cdot S$ .

סעיף ד (2). הביעו באמצעות S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $f(x)$ ועל ידי ציר ה-x, בתחום $0\le x\le 4.5$ .

קבעו אם כל איברי הסדרה $a_n$ הם חיוביים או שליליים. נמקו את קביעתכם.

$b_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית וגם מנתה היא $q$ . $c_n$ היא סדרה אין-סופית שאיבריה מקיימת לכל n טבעי $c_n=2b_n-a_n$ ($c_n\ne 0$) .

סעיף ב. הוכיחו כי הסדרה $c_n$ היא הנדסית, והביעו את מנתה באמצעות $q$ .

נתון כי $c_1=5\frac{2}{3}$ , וכי סכום איברי הסדרה $c_n$ גדול פי 17 מסכום איברי הסדרה $b_n$ .

סעיף ג. מצאו את הערך של $a_1$ .

נתון כי סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה $a_n$ גדול ב-4 מסכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה $a_n$ .

סעיף ד. מצאו את הערך של $q$ .

מהי ההסתברות שנבחר לימון?

ההסתברות לבחור באקראי תפוז מבין הפירות שמיועדים לייצוא היא $\frac{3}{5}$ . ההסתברות לבחור באקראי לימון מבין הפירות שאינם מיועדים לייצוא היא $\frac{4}{15}$ . בוחרים באקראי פרי אחד מבין כל הפירות בבית האריזה.

סעיף ב. מהי ההסתברות שנבחר פרי המיועד לייצוא?

בוחרים באקראי שני פירות מבין כל הפירות בבית האריזה.

סעיף ג. ידוע שנבחרו שני לימונים. מהי ההסתברות שאחד מהם מיועד לייצוא והאחר אינו מיועד לייצוא?

בוחרים באקראי 4 פירות מבין כל הפירות בבית האריזה. ידוע שלפחות אחד מהם מיועד לייצוא.

סעיף ד. מהי ההסתברות שלכל היותר 3 מבין הפירות שנבחרו מיועדים לייצוא?