בגרות מתמטיקה 571, חורף 2025 מועד א'

נתון כי השוויון $8+24+48+\dots +n(n+2)=\frac{n(n+a)(n+4)}{6}$ מתקיים בעבור $n=2$ . $a$ הוא פרמטר.

סעיף א (1). מצאו את הערך של $a$ .

(נתוני סעיף א:) נתון כי השוויון $8+24+48+\dots +n(n+2)=\frac{n(n+a)(n+4)}{6}$ מתקיים בעבור $n=2$ . $a$ הוא פרמטר.

סעיף א (2). בעבור הערך של $a$ שמצאתם, הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי השוויון הנתון מתקיים לכל $n$ טבעי זוגי .

כל המועמדים ללימודים באוניברסיטה נבחנים בשני מבחנים. נמצא כי מספר המועמדים שהצליחו רק במבחן הראשון קטן פי $4$ ממספר המועמדים שהצליחו בשני המבחנים. $\frac{8}{9}$ מן המועמדים שהצליחו במבחן השני, הצליחו גם במבחן הראשון. נסמן ב־$p$ את ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח רק במבחן הראשון.

סעיף ב (1). הביעו באמצעות $p$ את ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח לפחות במבחן אחד.

(נתוני סעיף ב:) כל המועמדים ללימודים באוניברסיטה נבחנים בשני מבחנים. נמצא כי מספר המועמדים שהצליחו רק במבחן הראשון קטן פי $4$ ממספר המועמדים שהצליחו בשני המבחנים. $\frac{8}{9}$ מן המועמדים שהצליחו במבחן השני, הצליחו גם במבחן הראשון. נסמן ב־$p$ את ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח רק במבחן הראשון.

סעיף ב (2). ידוע שנבחר באקראי מועמד שהצליח לפחות במבחן אחד. מהי ההסתברות שהמועמד שנבחר הצליח בשני המבחנים?

נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ , $g(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^2-1}$ , $h(x)=\sqrt{\frac{x}{x^2-1}}$ .

סעיף ג (1). מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות $f(x)$ , $g(x)$ ו־$h(x)$ .

(נתוני סעיף ג:) נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ , $g(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^2-1}$ , $h(x)=\sqrt{\frac{x}{x^2-1}}$ .

סעיף ג (2). התאימו לכל אחת מן הפונקציות $f(x)$ , $g(x)$ , $h(x)$ את הגרף המייצג אותה מבין הגרפים 1–5 שלפניכם. נמקו את קביעותיכם.

הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f^{\prime }(x)$ , מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ . נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא אי־זוגית, ויש לה נקודת מינימום אחת בלבד ששיעוריה הם $(3,-6)$ . לפונקציה $f(x)$ ולפונקציית הנגזרת $f^{\prime }(x)$ יש אסימפטוטה אופקית $y=0$ .

סעיף ד (1). סרטטו סקיצה אפשרית של גרף פונקציית הנגזרת $f^{\prime }(x)$ .

(נתוני סעיף ד:) הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f^{\prime }(x)$ , מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ . נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא אי־זוגית, ויש לה נקודת מינימום אחת בלבד ששיעוריה הם $(3,-6)$ . לפונקציה $f(x)$ ולפונקציית הנגזרת $f^{\prime }(x)$ יש אסימפטוטה אופקית $y=0$ .

נתונה הפונקציה $g(x)=f^2(x)\cdot f^{\prime }(x)$ .

סעיף ד (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $g(x)$ עם ציר ה־$x$ .

סעיף ד (3). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ ועל ידי ציר ה־$x$ .

מצאו את מנת הסדרה $A$ .

האם הסדרה $A$ עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת? נמקו את תשובתכם.

המשיכו את הסדרה $A$ כך שנוצרה סדרה הנדסית אין־סופית. נתונה סדרה אין־סופית $B$ שאיבריה מקיימים $b_n=\frac{k^n}{a_n}$ לכל $n$ טבעי. $k$ הוא פרמטר שונה מ־$0$ . הוכיחו כי הסדרה $B$ היא סדרה הנדסית, והביעו את המנה שלה באמצעות $k$ .

נתון כי סכום הסדרה $B$ מתכנס. מצאו את תחום הערכים האפשרי של $k$ .

נתון: מנת הסדרה $B$ היא $\frac{1}{4}$ . סכום הסדרה $B$ הוא $-9$ . מצאו את הערך של $k$ ואת הערך של $b_1$ .

בסדרה $B$ מחקו כל איבר שלישי ($b_3,b_6,b_9,\dots$). מצאו את סכום האיברים הנותרים.

ידוע שדנה הוציאה שני כדורים באותו הצבע. מהי ההסתברות ששניהם צהובים?

דנה מחזירה לכד את הכדורים שהוציאה. יעל מבצעת את התהליך הזה: היא בוחרת באקראי כד, מוציאה ממנו באקראי כדור אחד ומחזירה אותו לכד. יעל חוזרת על תהליך זה עד שהיא מוציאה כדור אדום, מחזירה אותו לכד ומפסיקה להוציא כדורים. מצאו את ההסתברות שיעל ביצעה תהליך זה $6$ פעמים בדיוק.

העבירו חלק מן הכדורים מכד ב' לכד א'. לאחר מכן בחרו באקראי כד והוציאו ממנו באקראי כדור אחד. נתון כי לאחר ההעברה ההסתברות שהכדור שהוציאו היה אדום היא $\frac{19}{24}$ . האם ייתכן שלפני ההעברה היו בכד ב' $10$ כדורים? נמקו את תשובתכם.