בגרות מתמטיקה 571, קיץ 2026 מועד א'

הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:

$\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+\dots +\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}$

ליונתן יש בספרייה שבחדרו ספרים משני סוגים: ספרי קומיקס וספרי עיון. 60% מן הספרים הם ספרי קומיקס והשאר ספרי עיון. 70% מן הספרים הם בעברית והשאר באנגלית. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם.

סעיף ב. I. ליונתן אין ספרי קומיקס בעברית. II. ההסתברות לבחור באקראי ספר בעברית מבין ספרי הקומיקס גדולה מן ההסתברות לבחור באקראי ספר קומיקס מבין הספרים שבעברית.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y=0$ . ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה-x , ששיעוריה הם $(12,0)$ . שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר גדול מ-1 . נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{(f(x){)}^2}$ .

סעיף ג (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ .

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ .

נתון כי לישר $y=\frac{a}{27}$ ולגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק 3 נקודות משותפות. מצאו את הערך של $a$ .

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{-30x^2}{(x^3-8{)}^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne 2$ . בסרטוט מוצגות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך עם ציר ה-x של גרף הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g^{\prime }(x)=f(x)$ . הפונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne 2$ . נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0,0.75)$ .

סעיף ד (1). מצאו פונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה.

אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר פונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה. קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

הוכיחו כי הסדרה $c_n$ היא הנדסית, והביעו באמצעות $q$ את מנתה.

נתון: $a_1=b_1$ , $c_2=\frac{1}{8}\cdot (a_1{)}^2$ .

סעיף ב. מצאו את הערך של $q$ .

האם הערך של $a_1$ הוא חיובי או שלילי? נמקו את תשובתכם.

האם הסדרה $c_n$ עולה או יורדת? נמקו את תשובתכם.

נסמן ב-$S_1$ את סכום הסדרה $a_n$ , ב-$S_2$ את סכום הסדרה $b_n$ , וב-$S_3$ את סכום הסדרה $c_n$ . נתון: $S_1+S_2+S_3=434$ .

סעיף ד. מצאו את הערך של $a_1$ .

מצאו את הערך של $x$ .

ידוע שגלית הוציאה שני כדורים מאותו הסוג. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים משק א'?

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם 4 פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו כדור אקראי אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה).

סעיף ג. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בדיוק בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים?

מהי ההסתברות שגלית הוציאה בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים ובשתיים מן הפעמים רק כדורים רכים?