בגרות מתמטיקה 571, קיץ 2026 מועד ב'

נתון כי השוויון $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{b}$ מתקיים בעבור $n=2$ . $b$ הוא פרמטר שונה מ־$0$ .

סעיף א (1). מצאו את הערך של $b$ .

(נתוני סעיף א:) נתון כי השוויון $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{b}$ מתקיים בעבור $n=2$ . $b$ הוא פרמטר שונה מ־$0$ .

סעיף א (2). הציבו $b=4$ והוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי השוויון הנתון מתקיים לכל $n$ טבעי.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף $f(x)$ המוגדרת בתחום $x\le 6$ . אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$ . I. $f(x)=x\sqrt{6-x}$ II. $f(x)=-x\sqrt{6-x}$ III. $f(x)=x\sqrt{x-6}$ IV. $f(x)=-x\sqrt{x-6}$

סעיף ב (1). קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקציה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

(נתוני סעיף ב:) בסרטוט שלפניכם מתואר גרף $f(x)$ המוגדרת בתחום $x\le 6$ . אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$ . I. $f(x)=x\sqrt{6-x}$ II. $f(x)=-x\sqrt{6-x}$ III. $f(x)=x\sqrt{x-6}$ IV. $f(x)=-x\sqrt{x-6}$

סעיף ב (2). נתונה הפונקציה $g(x)=(f(x){)}^2$ המוגדרת בתחום $x\le 6$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ ועל ידי ציר ה־$x$ .

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y=0$ . שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־$y$ מוצגים בסרטוט. נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{f(x)-2}$ .

סעיף ג (1). כמה אסימפטוטות המאונכות לציר ה־$x$ יש לפונקציה $g(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

(נתוני סעיף ג:) בסרטוט שלפניכם מתואר גרף $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y=0$ . שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־$y$ מוצגים בסרטוט. נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{f(x)-2}$ .

סעיף ג (2). מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־$y$ של הפונקציה $g(x)$ .

סעיף ג (3). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ .

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ ($\angle CAB=90^{\circ }$). נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע $AB$ . נתון: $AB=1$ .

סעיף ד (1). האם ייתכן שהאיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע $BC$ ? נמקו את תשובתכם.

(נתוני סעיף ד:) בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ ($\angle CAB=90^{\circ }$). נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע $AB$ . נתון: $AB=1$ .

סעיף ד (2). מצאו את אורך הצלע $BC$ (בתשובתכם תוכלו להשאיר שורש).

לפניכם שלוש טענות I–III . קבעו איזו מן הטענות נכונה ונמקו את קביעתכם.

() I. $-1<q<0$

() II. $0<q<1$

() III. $1<q$

$b_n$ היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי. הוכיחו כי הסדרה $b_n$ היא הנדסית ומנתה היא $q$ .

נתון כי סכום הסדרה $b_n$ גדול פי $1.96$ מסכום הסדרה $a_n$ . מצאו את הערך של $q$ .

$c_n$ היא סדרה שאיבריה מקיימים $c_n=\frac{b_n}{4\cdot a_n}$ לכל $n$ טבעי. נתון כי סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה הוא $34.79$ .

סעיף ד (1). הוכיחו כי הסדרה $c_n$ היא קבועה.

(נתוני סעיף ד:) $c_n$ היא סדרה שאיבריה מקיימים $c_n=\frac{b_n}{4\cdot a_n}$ לכל $n$ טבעי. נתון כי סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה הוא $34.79$ .

סעיף ד (2). מצאו את הערך של $k$ .

החליפו את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה $c_n$ . מצאו את סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה $c_n$ לאחר החלפת הסימנים. נמקו את תשובתכם.

מצאו את ההסתברות שמועמד שעבר את שני המבחנים יעבור את הריאיון.

$94\%$ מן המועמדים לא מתקבלים לעבודה. מצאו את הערך של $p$ .

ידוע כי מועמד לא התקבל לעבודה. מהי ההסתברות שמועמד זה עבר את מבחן א'?

מבין כל המועמדים שלא התקבלו לעבודה בוחרים באקראי $5$ מועמדים. מהי ההסתברות שלפחות שניים מהם עברו את מבחן א'?