בגרות מתמטיקה 571, חורף 2026 מועד א'

בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$. דרך הנקודות $A$ ו־$E$ שעל המעגל העבירו שני משיקים המאונכים זה לזה. המשיקים נחתכים בנקודה $K$. הקטע $KO$ חותך את המעגל בנקודה $B$.

סעיף א (1). מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AOB$ משטח המשולש $AKB$.

(נתוני סעיף א:) בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$. דרך הנקודות $A$ ו־$E$ שעל המעגל העבירו שני משיקים המאונכים זה לזה. המשיקים נחתכים בנקודה $K$. הקטע $KO$ חותך את המעגל בנקודה $B$.

נתון כי שטח המשולש $AOB$ הוא $16$.

סעיף א (2). מצאו את אורך הגובה לצלע $AK$ במשולש $AKB$.

בתחרות שחמט, שני שחקנים – יאיר ונדב – מתחרים זה נגד זה. כל משחק יכול להסתיים באחת מ־$3$ התוצאות האלה: ניצחון של יאיר, ניצחון של נדב או תיקו. בכל משחק ההסתברות שיאיר ינצח היא קבועה וגדולה פי $2$ מן ההסתברות שנדב ינצח. נסמן ב־$p$ את ההסתברות שנדב ינצח במשחק אחד. יאיר ונדב משחקים שני משחקים.

סעיף ב (1). הביעו באמצעות $p$ את ההסתברות שאחד מן השחקנים ישיג שני ניצחונות.

(נתוני סעיף ב:) בתחרות שחמט, שני שחקנים – יאיר ונדב – מתחרים זה נגד זה. כל משחק יכול להסתיים באחת מ־$3$ התוצאות האלה: ניצחון של יאיר, ניצחון של נדב או תיקו. בכל משחק ההסתברות שיאיר ינצח היא קבועה וגדולה פי $2$ מן ההסתברות שנדב ינצח. נסמן ב־$p$ את ההסתברות שנדב ינצח במשחק אחד. יאיר ונדב משחקים שני משחקים.

ידוע שאם שום שחקן לא השיג שני ניצחונות, ההסתברות שכל אחד מן המשחקים יסתיים בתיקו היא $\frac{9}{31}$.

סעיף ב (2). קבעו איזו מן האפשרויות I–III שלפניכם מתאימה לערך של $p$. נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{x^2-1}+2\sqrt{16-x^2}$.

סעיף ג (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

(נתוני סעיף ג:) נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{x^2-1}+2\sqrt{16-x^2}$.

סעיף ג (2). אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$. קבעו איזה מהם ונמקו את קביעתכם.

נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $a_n=\frac{\cos (\pi \cdot 2^n)}{5\cdot 2^n}$ לכל $n$ טבעי.

סעיף ד (1). מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה $a_n$.

(נתוני סעיף ד:) נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $a_n=\frac{\cos (\pi \cdot 2^n)}{5\cdot 2^n}$ לכל $n$ טבעי.

סעיף ד (2). הוכיחו כי הסדרה $a_n$ היא הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

סעיף ד (3). מצאו את סכום הסדרה $a_n$.

מצאו את הערך של $q$.

נתונה סדרה $b_n$ שאיבריה מקיימים $b_n=\frac{1+q}{a_n\cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי. נתון: $b_1=1$. מצאו את הערך של $a_1$.

הביעו באמצעות $n$ את $b_n$.

הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל $n$ טבעי מתקיים:

$b_1+b_2+\cdots +b_n=\frac{16^n-1}{15}$

מצאו כמה אחוזים מן התלמידים בשכבה זו הם מדריכים.

בוחרים באקראי תלמיד מבין התלמידים שאין להם רישיון. מהי ההסתברות שתלמיד זה הוא מדריך?

בוחרים באקראי $5$ תלמידים מבין התלמידים שאין להם רישיון.

סעיף ג (1). מהי ההסתברות שנבחר יותר ממדריך אחד?

(נתוני סעיף ג:) בוחרים באקראי $5$ תלמידים מבין התלמידים שאין להם רישיון.

סעיף ג (2). ידוע שנבחר יותר ממדריך אחד. מהי ההסתברות כי מספר המדריכים שנבחרו הוא זוגי?