בגרות מתמטיקה 571, קיץ 2024 מועד ב'

הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל n טבעי:

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

סעיף א (2). האם הביטוי $1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +n(n+1)$ שווה ל-$\frac{n+1}{n}$ בעבור כל n טבעי? נמקו את תשובתכם.

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. נסמן: $\angle ACB=\alpha$, $0°<\alpha <90°$.

סעיף ב (1). הביעו באמצעות $\alpha$ את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש ABC ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש AOB.

(נתוני סעיף ב:) המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. נסמן: $\angle ACB=\alpha$, $0°<\alpha <90°$.

נתון כי היחס שהבעתם בתת-סעיף (1) שווה ל-$\sqrt{2}$, וכי הצלע CB משיקה למעגל החוסם את משולש AOB.

סעיף ב (2). הוכיחו כי מרכז המעגל O נמצא על הצלע AC.

נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית ורציפה, המוגדרת לכל x. לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מינימום אחת בלבד, ובה $x=-\frac{1}{2}$. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-x היא בנקודה $(1,0)$.

סעיף ג (1). סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה $f(x)$.

(נתוני סעיף ג:) נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית ורציפה, המוגדרת לכל x. לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מינימום אחת בלבד, ובה $x=-\frac{1}{2}$. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-x היא בנקודה $(1,0)$.

(התנאים שנקבעו לפני תת-סעיף (2):) נתון כי הפונקציה $g(x)$ היא פונקציה זוגית, המוגדרת לכל x. פונקציית הנגזרת $g^{\prime }(x)$ מקיימת $g^{\prime }(x)=-f(x)$. נתון: $g(1)=2$.

סעיף ג (2). מצאו את שיעורי נקודות המינימום של הפונקציה $g(x)$.

סעיף ג (3). לפניכם שני היגדים I–II. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. I. שיעור ה-y של נקודת המקסימום של הפונקציה $g(x)$ הוא בין 0 ל-2. II. הפונקציה $g(x)$ חיובית לכל x.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל x. אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$.

סעיף ד (1). קבעו איזה מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$. נמקו את קביעתכם.

I. $f(x)=x(x-4)(x+6)$ II. $f(x)=x(x-1)(x+3)(x+6)$ III. $f(x)=(x-4)(x-1)(x+3)(x+6)$ IV. $f(x)=(x-4)(x+1)(x+3)(x+6)$

(נתוני סעיף ד:) בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל x. אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$.

(התנאים שנקבעו לפני תת-סעיף (2):) נתונה הפונקציה $g(x)=\sqrt{f(x)}$.

סעיף ד (2). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$.

סעיף ד (3). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

(התנאים שנקבעו לפני תת-סעיף (4):) נתון: ${\int }_4^{7}g(x)dx=k$.

סעיף ד (4). הביעו באמצעות k את הערך של ${\int }_5^8\left[2\cdot g(x-1)+1\right]dx$.

מצאו את n.

המשיכו את הסדרה הנתונה, כך שנוצרה סדרה הנדסית אין-סופית. נתון: B היא סדרה אין-סופית המקיימת לכל k טבעי: $b_k=\frac{1}{(a_k+a_{k+1}{)}^2}$.

סעיף ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

בסדרה B כופלים כל איבר שנמצא במקום זוגי ב-2. נתון כי לאחר ההכפלה, סכום האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים גדול ב- $\frac{1}{30}$ מסכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים.

סעיף ג. מצאו את $a_1$.

מהי ההסתברות שבחרו לפחות תלמיד אחד שמתנדב ולפחות תלמיד אחד שאינו מתנדב?

נתון כי 55% מן התלמידים אינם חברים בתנועת נוער ואינם מתנדבים, ו-1/12 מן התלמידים שאינם חברים בתנועת נוער מתנדבים בתנועת נוער מתנדבים.

סעיף ב. כמה אחוזים מן התלמידים חברים בתנועת נוער?

במחקר השתתפו 100 תלמידים סך הכול.

סעיף ג. כמה מן התלמידים חברים בתנועת נוער ואינם מתנדבים?

בוחרים באקראי 3 מן התלמידים שאינם מתנדבים (הוצאה ללא החזרה).

סעיף ד (1). מהי ההסתברות שהתלמיד הראשון שנבחר חבר בתנועת נוער וששני התלמידים שנבחרו אחריו אינם חברים בתנועת נוער?

(נתוני סעיף ד:) בוחרים באקראי 3 מן התלמידים שאינם מתנדבים (הוצאה ללא החזרה).

סעיף ד (2). מהי ההסתברות שאחד מן התלמידים שנבחרו חבר בתנועת נוער והשניים האחרים אינם חברים בתנועת נוער אם ידוע שהתלמיד הראשון שנבחר אינו חבר בתנועת נוער?